Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为2，离心率等于.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，

求证：为定值.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）短轴长为可得，再由离心率等于，结合椭圆性质可得，进而可得椭圆的方程；（2）直线的方程是，将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得，，利用韦达定理化简可得为定值.

试题解析：（1）设椭圆的方程为，则由题意知，所以.

，解得，所以椭圆的方程为.

（2）证明：设的点的坐标分别为，易知点的坐标为，显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程是，将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得，∴，又∵，将各点坐标代入得，

∴.

考点：1、待定系数法求椭圆方程；2、韦达定理及定值问题.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.