Question

已知长方体中，，，为的中点，如图所示.

（1）在所给图中画出平面与平面的交线（不必说明理由）；

（2）证明：平面；

（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.

Answer

（1）画出平面与平面的交线见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）连接交于，则直线即为平面与平面的交线；（2）利用中位线定理可证明，再根据线面平行的判定定理可得结论；（3）过作的垂线于，可得平面于，再利用三垂线定理可得，进而得即是平面与平面所成锐二面角的平面角，从而根据平面几何知识可求得结果.

试题解析：

（1）连接交于，则直线即为平面与平面的交线，如图所示.

（2）由（1）因为在长方体中，所以为的中点，又为的中点，所以在中是中位线，所以，又平面，平面，所以平面.

（3）因为在长方体中，所以，平面即是平面，过平面上点作的垂线于，如平面图①，因为在长方体中，平面，平面，所以，，所以平面于，过点作直线的垂线于，如平面图②，连接，由三垂线定理可知，，由二面角的平面角定义可知，在中，即是平面与平面所成锐二面角的平面角.

因长方体中，，在平面图①中，，，，，在平面图②中，由相似可知，所以，所以平面与平面所成锐二面角的大小为.

考点：1、直线与平面平行的判定定理；2、三垂线定理、二面角的定义及求法.