Question

已知函数为实数且.

（1）设函数.当时，在其定义域内为单调增函数，求的取值范围；

（2）设函数.当时，在区间(其中为自然对数的底数)上是否存在实数，使得成立，若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）在其定义域内为单调增函数，即为在上恒成立，分类参数，利用均值不等式求出右边函数的最大值，即得的范围；（2）在区间上存在实数，使得成立，即得最小值小于零，讨论的单调性，求出其最小值列参数的不等式求出范围.

试题解析：（1） ,定义域为.因为,要使为单调递增函数，须恒成立，即恒成立，即恒成立，又，所以定义域为单调递增函数时，的取值范围是.

（2）时，，且，令，得到，若在区间上存在一点，使得成立，即在区间上的最小值小于.①当，即时，恒成立，即在区间上单调递减，故

在区间上的最小值为，由，得即 .②当,即时, 若，则对成立，所以在区间上单调递减，则在区间上的最小值为,显然 在区间 上的最小值小于不成立.若,即时，则有

极小值

所以在区间上的最小值为.由,得,解得,即.综上①②可知,当时，在区间上存在实数, 使得成立.

考点：利用导数研究函数的单调性及定区间上的极值、最值和不等式有解问题.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及定区间上的极值、最值和不等式有解问题，考查了转化的思想和分类讨论的思想方法，属于中档题.给出函数在某个区间上的单调性，往往转化为不等式的恒成立，通过分离参数或直接求最值解决；不等式在某个区间上有解，通常转化为函数的最值问题，本题通过分类讨论，求出函数的最小值构造参数的不等式，即可求出其范围.