Question

已知椭圆的顶点到左焦点的距离为，离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点为椭圆的右頂点,过点作互相垂直的两条射线,与椭圆分別交于不同的两点不与左、右顶点重合) ，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer

（1）；（2）直线过定点.

【解析】

试题分析：（1）根据题意列出的方程组结合，求出的值；（2）当直线的斜率不存在时，求出两点坐标，可得其与的交点，当当直线的斜率存在时，设直线的方程为，整理方程组可得两点坐标的关系，根据及椭圆的右顶点，由向量的数量积坐标表示出的关系，代入直线方程即可求得直线经过的定点.

试题解析：（1）由题意可知:， 解得：，故椭圆的标准方程为.

（2）设当直线的斜率不存在时，轴,为等腰直角三角形，

,又,又不与左、右顶点重合，解得，此时，直线过点.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为,由方程组,得,整理得,则.由已知，且椭圆的右顶点为，所以，，即，整理得，解得或均满足成立.当时，直线的方程过顶点，与题意矛盾舍去.当时，直线的方程过定点，故直线过定点，且定点是.

考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查了待定系数法和分类讨论的思想，属于中档题.求椭圆的方程要注意区分的关系与双曲线的区别；研究直线经过的定点问题，往往先研究特殊情况，找出定点，然后证明一般情况下直线也经过定点，设出直线的斜截式方程，根据条件找出斜率和截距的关系，找出定点.