Question

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若方程有两个相异实根，，且，证明：.

Answer

（1）增区间，减区间；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求出导函数，在函数定义或内，通过解不等式得增区间，解不等式得减区间；（2）要证明题设不等式，首先要确定的性质．由（1）函数的单调性知，同时由得，，从而，从要证明的结论可以看出 ，我们要证明，由于在上是递增的，因此可证，作差，，下面要证，设,由导数求出它的最大值，只要最大值小于0，命题即证．

试题解析：（1）的定义域为

当时 所以 在递增

当时 所以 在递减

（2）由(1)可设的两个相异实根分别为，满足

且，

由题意可知

又有(1)可知在递减

故

所以

令

令，

则．

当时，，是减函数，所以

所以当时，，即

因为， 在上单调递增，

所以，故．

综上所述：

考点：导数与单调性，导数的综合应用．

【名师点睛】研究函数的单调性问题，一般是先确定函数的定义域，再求导数，然后令，解不等式得的范围就是递增区间，令，解不等式得的范围是递减区间．在用导数研究函数的单调性时容易忽视函数的定义域而致误．