Question

已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）求在上的最大值和最小值；

（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2），；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据“降幂公式”及两角差的正弦公式可将化为，从而可得的最小正周期；（2）由，得 ，从而，进而可得在上的最大值和最小值；（3）题意等价于在上恒成，只需可得实数的取值范围.

试题解析：∵．

（1）．

（2）∵，∴，∴，

∴，．

（3）题意等价于在上恒成立，

即在上恒成立，

∴∴．

考点：1、三角函数的周期性及三角函数的最值；2、不等式恒成立问题.

【方法点睛】本题考查三角函数的周期性及三角函数的有界性、不等式恒成立问题,属于难题. 对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值.