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已知函数 . (Ⅰ)当时,求函数在处的切线方程; (Ⅱ)当时,求函数的单调区间;...

已知函数  .

时,求函数处的切线方程;

时,求函数的单调区间;

若函数有两个极值点,不等式恒成立,求实数的取值范围.

 

(Ⅰ);(Ⅱ)当时,的单调递增区间是,当时,的单调递增区间是,,单调递减区间是;(Ⅲ). 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先对函数求导,求出切线方程得斜率,再求出该点的函数值,利用点斜式求解;(Ⅱ)利用导函数的正负判断原函数的单调性,再分类讨论;(Ⅲ)从函数在上有两个极值点,表示,得到新的函数,再求最值. 试题解析:(I)当时, 则 所以切线方程为, 即为 (Ⅱ) 令 当即时,,函数在上单调递增; (2)当且,即时,由,得, 由,得或; 由,得. 综上,当时,的单调递增区间是; 当时,的单调递增区间是,; 单调递减区间是 (Ⅲ)函数在上有两个极值点,由(Ⅱ)可得, 由则,,, 由,可得,, 令, 由,则,, 又,则,即在递减, 即有,即, 即有实数的取值范围为. 考点:利用导数研究函数的极值与最值. 【方法点晴】本题考查的是函数导数的综合应用,第一问是求在某点处的切线,关键是求得确定直线的切线斜率和该切点的坐标,利用点斜式求解,第二问讨论函数的单调性,关键是对二次函数进行讨论,先从判别式入手,第二层再从根的情况入手(要注意方程的根和定义域区间端点进行比较),从而得到导数的正负,得到原函数的增减,第三问是多元化最值,关键是把三个量都用一个量表示 ,得到新函数,再求值域即可.  
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跟从别人闯红灯

从不闯红灯

带头闯红灯

男生

800

450

200

女生

100

150

300

在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n人,已知“跟从别人闯红灯”的人抽取45 人,求n的值;

在“带头闯红灯”的人中,将男生的200人编号为1,2,…,200;将女生的300人编号为201,202,…,500,用系统抽样的方法抽取4人参加“文明交通”宣传活动,若抽取的第一个人的编号为100,把抽取的4人看成一个总体,从这4人中任选取2人,求这两人均是女生的概率.

 

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