Question

如图（1），在平行四边形中，, 分别为的中点.现把平行四边形沿折起，如图（2）所示，连结.

（1）求证: ；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据线面垂直的性质定理，证明平面，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角的余弦值.

试题解析：（1）由已知可得，四边形,均为边长为的菱形，且.在图 （1）中，取中点, 连结，故是等边三角形，所以，同理可得，, 又因为，所以平面, 又因为平面, 所以.

（2）由已知得,, 所以, 故.如图（2），分别以

为轴，轴,轴的正方向建立空间直角坐标系，得,设平面的法向量, 由, 得, 令, 得, 所以平面的法向量为, 设平面的法向量

, 由, 得, 令,得, 所以平面的法向量为, 于是,因为二面角的平面角为钝角,所以二面角的余弦值为.

考点：1.二面角的平面角及求法；2.线面垂直判定及性质.