Question

已知，若函数在区间上的最大值为，最小值为，令.

（1）求的函数解析式；

（2）判断函数在区间上的单调性，并求出的最大值.

Answer

（1）；（2）在区间上是减函数，在区间上是增函数，.

【解析】

试题分析：（1）由得，得，分两种情况分类讨论，即可求解的函数解析式；（2）设，求得，可得在区间上是减函数，再设，则，得到在区间上是增函数，即可求得的最大值.

试题解析：（1），由得，

∴.

当即，，

当即，，

∴

（2）设，

则

.

∴在区间上是减函数.

故在区间上的最大值为

设，则

.∴在区间上是增函数.

故在区间上的最大值为

综上所述，有最大值为4.

考点：函数的单调性的判定与证明，函数的解析式；

【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到函数的最值、函数的解析式的求解、函数的单调性的判定与应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想、转化与化归思想，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确理解题意，合理利用函数的单调性是解答的关键.