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已知椭圆C:的离心率为,点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)设动直线与...

已知椭圆C:的离心率为,点在椭圆C上.

1求椭圆C的方程;

2设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点O为圆心的圆,满足此圆与相交两点两点均不在坐标轴上,且使得直线 的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由.

 

(1);(2)当圆的方程为时,圆与的交点满足斜率之积为定值. 【解析】 试题分析:(1)由椭圆离心率可知,点在椭圆上,将代入椭圆方程,再结合,即可求出椭圆的标准方程;(2)当直线斜率存在时利用解的性质可以得,,,可以确定当为定值时,,当直线斜率不存在时,确定直线方程,进行判断,即可得到圆的方程. 试题解析:(1)【解析】 由题意,得,又因为点在椭圆上,所以 , 解得, 所以椭圆的方程为. (2)结论:存在符合条件的圆,且此圆的方程为.证明如下: 假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为. 当直线的斜率存在时,设的方程为. 由方程组 得, 因为直线与椭圆有且仅有一个公共点, 所以,即. 由方程组 得, 则. 设,则, 设直线 的斜率分别为,所以. , 将代入上式,得. 要使得为定值,则,即,验证符合题意. 所以当圆的方程为时,圆与的交点满足为定值. 当直线的斜率不存在时,由题意知的方程为, 此时,圆与的交点也满足. 综上,当圆的方程为时,圆与的交点满足斜率之积为定值. 考点:椭圆方程,直线和椭圆的位置关系. 【方法点晴】直线和位置关系的考题中,常用的方法就是“设而不求”,在本题中,设出,根据信息,分析出坐标的方程即得:,进而就可以通过设直线与曲线联立,由韦达定理得出根与系数的关系,当直线斜率存在时利用解的性质可以得,,,可以确定当为定值时,,当直线斜率不存在时,确定直线方程,进行判断,即可得到圆的方程.  
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