Question

以边长为4的等比三角形的顶点以及边的中点为左、右焦点的椭圆过两点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）过点且轴不垂直的直线交椭圆于两点，求证直线与的交点在一条直线上.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：

（1）先建立直角坐标系，使椭圆方程为标准方程，则

（2）研究圆锥曲线的定值问题，一般方法为以算代证，即先求两直线交点坐标，再确定交点所在定直线：由对称性可知两直线交点必在垂直于x轴的直线上，因此运算目标为求交点横坐标为定值，设的方程为，，则： ，：，消去y得，再利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理可得，，代入化简得

试题解析：（1） 由题意可知两焦点为与，且，因此椭圆的方程为. （4分）

（2） ① 当不与轴重合时，

设的方程为，且，

联立椭圆与直线消去可得，即，

设，

则： ①

： ②

②-①得

则，即.

②当与轴重合时，即的方程为，即，.

即： ①

： ②

联立①和②消去可得.

综上与的交点在直线上.

考点：直线和椭圆的位置关系及定值

【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.