Question

函数，曲线在点处的切线平行于直线,若函数在时有极值.

（1）求,的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）若函数在区间上的的最大值为10，求在该区间上的最小值.

Answer

（1）；（2）函数的单调增区间为：单调减区间为：；（3）.

【解析】

试题分析：（1）建立方程组，解之即可求出，的值；（2）导函数值大于以及小于即可求出函数的单调区间；（3）先分析出何时取最大值，结合最大值为求出，再结合函数值即可得到在该区间上的最小值.

试题解析：，，由题意，得即，则的根为，即得；

，所以函数的单调增区间为：单调减区间为：

由得：在递增，在递减，在递增，且，，，，由函数在区间上的的最大值为，得，即

在该区间上的最小值为：.

考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究曲线上某点切线方程.

【方法点晴】本题是利用导数研究曲线上某点的切线，利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，先利用切点在切线上求出点切点的坐标，且函数在时有极值得，建立不等式组，解之即可求出的值；求单调区间，需要先求出其导函数，根据导函数值大于以及小于即可求出函数的单调区间，分析出何时取最大值，结合最大值为求出，再结合函数值即可得到在该区间上的最小值.