Question

双曲线C的方程为离心率顶点到渐近线的距离为

（1）求双曲线C的方程；

（2）点P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限．若求△AOB面积的取值范围。

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先由双曲线标准方程求得顶点坐标和渐近线方程，进而根据顶点到渐近线的距离求得a，b和c的关系，进而根据离心率求得a和c的关系，最后根据c=综合得方程组求得a，b和c，则双曲线方程可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得渐近线方程，设A（m，2m），B（-n，2n），根据得P点的坐标代入双曲线方程化简整理m，n与λ的关系式，设∠AOB=2θ，进而根据直线的斜率求得tanθ，进而求得sin2θ，进而表示出|OA|，得到△AOB的面积的表达式，根据λ的范围求得三角形面积的最大值和最小值，△AOB面积的取值范围可得

试题解析：（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线

∴[由得∴双曲线C的方程为

（Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知 由{

得A点的坐标为由{得B点的坐标为

由得P点的坐标为

将P点坐标代入设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）．

=

设在上是减函数，在上是减函数

当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值

∴△AOB面积的取值范围是

考点：双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题