Question

如图，在梯形中，，四边形为矩形，平面平面，．

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，也可根据条件面面垂直，利用面面垂直性质定理，将其转化为线面垂直，先根据平几知识，算出，再结合面面垂直性质定理，证明线面垂直（2）研究二面角，一般利用空间向量，即先根据题意确定恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，建立方程组解出各面法向量，利用向量数量积，求两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与向量夹角之间关系得结论

试题解析：【解析】
（1）证明：在梯形中，

∵，

，∴

∴，

∴，∴

∵平面平面，平面平面，

平面，∴平面

由（1）可建立分别以直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，

∴

设为平面的一个法向量，

由，

联立得，

联，则

∵是平面的一个法向量，

∴．．10分

∵，∴当时，有最小值，当时，有最大值．

∴．．1

考点：面面垂直性质定理，利用空间向量求二面角

【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.