Question

设函数，其中．

（1）讨论的单调性；

（2）若在区间内恒成立（为自然对数的底数），求实数的取值范围．

Answer

（1）当时，在内单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先求函数定义域为，求导得，对分成，两类，讨论函数的单调区间；（2）令，对分成，，三类， 令利用导数研究其单调区间，可求得．

试题解析：

（1）

当时，，在内单调递减．

当时，，有．

此时，当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

（2）令，则（易证）

当，时，．

故当在区间内恒成立时，必有．

当时，．由（1）可知函数在上单调递减，即时，，不符合题意，舍。………8分

当时，令，则

所以在时单调递增，所以恒成立，即恒成立，满足题意。综上，．

考点：函数导数与，恒成立问题．

【方法点晴】本题考查函数导数与单调性．确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象．方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理．恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解．注意利用数形结合的数学思想方法．