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设函数. (1)当时,设,求证:对任意的,; (2)当时,若对任意,不等式恒成立...

设函数

1时,设,求证:对任意的

2时,若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围

 

(1)证明见解析;(2). 【解析】 试题分析:(1)当时,原不等式等价于.令,求导后可知函数在上单调递增,所以,得证;(2)当时,原不等式等价于,令,,对求导后对分成,两类讨论,可求得实数的取值范围为. 试题解析: (1)当时,, 所以等价于. 令,则,可知函数在上单调递增, 所以,即,亦即 (2)当时,,. 所以不等式等价于. 方法一:令,, 则. 当时,,则函数在上单调递增,所以, 所以根据题意,知有,∴ 当时,由,知函数在上单调减; 由,知函数在上单调递增. 所以. 由条件知,,即. 设,,则,, 所以在上单调递减. 又,所以与条件矛盾. 综上可知,实数的取值范围为. 方法二:令,, 则在上恒成立,所以, 所以. 又, 显然当时,,则函数在上单调递增,所以,所以. 综上可知的取值范围为. 考点:函数导数与不等式,恒成立问题. 【方法点晴】本题主要考查函数导数与不等式,恒成立问题.要证明一个不等式,我们可以先根据题意所给条件化简这个不等式,如第一问的不等式,可以转化为,第二问的不等式可以转化为,划归与转化之后,就可以假设相对应的函数,然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值,图像与性质,进而求解得结果.  
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考点分析:
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