Question

已知函数，，其中为实数．

（1）是否存在，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；

（2）若集合中恰有5个元素，求实数的取值范围．

Answer

（1）时，；（2）．

【解析】

试题分析：（1），即，解得，所以时，；（2）有相异实根时，

，解得或．，当时，， 有解，不符合题意；当时，，结合函数的单调性和极值可知 有解，不符合题意；当时，，结合函数的单调性和极值可知有解时．

试题解析：

（1）

∴

∴时，

（2）有2相异实根时，

，∴或，有3个相异实根时，

当时，， =0有1解；

当时，，在上增，上减，上增，极大值，有1解；

当时，，在上增，上减，上增，极小值，要使有3解，只须，∴．

下面用反证法证明时，5个根相异．假设

即两式相减得：

若代入②得0-1=0矛盾；若代入①得，这与矛盾．所以假设不成立，即5个根相异．综上，．

考点：函数导数与零点问题．