Question

已知二次函数满足以下两个条件：

①不等式的解集是；②函数在上的最小值是3．

（1）求的解析式；

（2）若点（）在函数的图象上，且．

（i）求证：数列为等比数列；

（ii）令，是否存在正整数，使得取到最小值？若有，请求出的值；若无，请说明理由．

Answer

（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）存在，数列能取到最小值.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件建立方程待定求解；（2）（i）借助题设运用等比数列的定义推证；（ii）借助已知结论运用比较法进行分析探求.

试题解析：

（1）∵的解集为，且是二次函数，

∴可设（），故的对称轴为直线，

∴在上的最小值为，

∴，所以．

（2）（i）∵点在函数的图象上，

∴，则 ，

∴，又首项，

∴数列为等比数列，且公比为2．

（ii）由上题可知，∴，

∵，

当或2时，；当时，，

即

所以当时，数列取到最小值．

考点：二次函数等比数列分析比较等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题以二次函数的两个问题为前提,求解数列的通项之间的关系等有关知识为背景的几个问题,其目的是考查等差数列等比数列等有关知识的综合运用以及推理论证能力、运算求解能力和运用所学知识去分析问题和解决问题的能力的综合问题.求解时充分借助题设条件中两个条件求出函数的解析表达式.在利用等比数列的定义证明数列是等比数列，然后再借助这一条件和数列的单调性,求出其最小值.