Question

已知数列，，其前项和满足，其中．

（1）设，证明：数列是等差数列；

（2）设，为数列的前项和，求证：；

（3）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用等差数列的定义推证；（2）依据题设运用错位相减法推证；（3）借助题设建立不等式分类探求.

试题解析：

（1）当时，，∴，

当时，，

∴，即，

∴（常数），

又，∴是首项为2，公差为1的等差数列，．

（2），

，

,

相减得，

∴．

（2）由得，

，

，

，

当为奇数时，，∴；

当为偶数时，，∴，

∴，

又为非零整数，

∴．

考点：等差数列及错位相减法等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题以数列的前项和与通项之间的关系等有关知识为背景,其目的是考查等差数列等比数列等有关知识的综合运用,及推理论证能力、运算求解能力、运用所学知识去分析问题和解决问题的能力的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,借助数列前项和与通项之间的关系进行推证和求解.本题的第一问,利用等差数列的定义证明数列是等差数列；第二问中则借助错位相减的求和方法先求出；第三问是依据不等式成立分类推得参数的取值范围.