Question

已知等比数列，各项，公比为．（1）设，求证：

（1）数列是等差数列，并求出该数列的首项及公差；

（2）设（1）中的数列单调递减，求公比的取值范围．

Answer

（1）证明见解析，；

（2） 当，则；当，则.

【解析】

试题分析：（1）先根据等比数列的通项公式求出，从而求出数列的通项公式，计算为常数即可证明数列是等差数列，并可求出首项与公差；

（2）的数列单调递减等价于数列的公差，分与分别讨论求之即可.

试题解析： （1），，

∴．

（2）由（1）可知，设（1）中的数列单调递减等价于数列的公差，

①若，则当时，有，从而数列单调递减；

②若，则当时，有，从而数列单调递减.

综合知，若，则；若，则.

考点：1.等差数列的定义与性质；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的单调性.