Question

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）记函数的图象为曲线．设点,是曲线上的不同两点．如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由．

Answer

（I）当时, 函数在和上单调递增,在上单调递减，当时, 函数在上单调递增，当时, 函数在和上单调递增,在上单调递减；（II）不存在，理由见解析.

【解析】

试题分析：（I）求导得，按照两根大小来分类讨论，从而得到单调区间；（II）先假设存在，求出，求出，由此化简得，令换元后化简得，用导数证明不存在使上式成立.

试题解析：

（Ⅰ）易知函数的定义域是，

①当时，即时, 令,解得或；

令,解得

所以，函数在和上单调递增,在上单调递减

②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；

③当时，即时, 令,解得或；

令,解得．

所以，函数在和上单调递增,在上单调递减

综上所述，

⑴当时, 函数在和上单调递增,在上单调递减；

⑵当时, 函数在上单调递增；

⑶当时, 函数在和上单调递增,在上单调递减

（Ⅱ）假设函数存在“中值相依切线”．

设,是曲线上的不同两点，且，

则

曲线在点处的切线斜率

，

依题意得：．

化简可得：，即．

设（），上式化为：, 即．

令,．

因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立．

所以在内不存在,使得成立．

综上所述，假设不成立．所以，函数不存在“中值相依切线”

考点：函数导数与不等式．

【方法点晴】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点， 而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.