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设函数,. (1)求的极值; (2)设≤,记在上的最大值为,求函数的最小值; (...

设函数

(1)的极值;

(2),记上的最大值为,求函数的最小值;

(3)设函数为常数),若使上恒成立的实数有且只有一个,求实数的值.

 

(1) 当时,有极大值极小值;(2);(3) ,. 【解析】 试题分析:(1)求函数的导数,由得,分区间列表讨论函数的符号与函数的单调性,可求函数的极值; (2) 由(1)知区间上单调递增,在区间上单调递减,分与分别求函数的最大值,再计算的最小值即可;(3),构造函数,求函数的导数,通过导数求函数的最小值,由得,又,所以,由的唯一性,可得,. 试题解析: (1) ∴当变化时,可以得到如下表格: 0 — 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴当时,有极大值极小值, (2)由(1)知区间分别单调增,单调减,单调增, 所以当时,,特别当时,有; 当时,,则, 所以对任意的, (3)由已知得在上恒成立, 则 ∴时,,时,, 故时,函数取到最小值.从而; 在上恒成立,则, ∴时,,时,, 故时,函数取到最小值.从而, 由的唯一性知,. 考点:1.导数一民函数的单调性、极值;2.函数与不等式.  
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考点分析:
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已知函数

   (1)求函数的单调区间;

   (2)若对定义域内的任意恒成立,求实数的取值范围。

 

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扬州瘦西湖隧道长米,汽车通过隧道的速度为米/秒.根据安全和车流的需要,相邻两车之间的安全距离米;相邻两车之间的安全距离米(其中是常数).当时,,当时,

(1)求的值;

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表示为的函数

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(1)当时,求的最小值;

(2)如果对,求实数的取值范围.

 

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