Question

在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上运动，过点与垂直的直线和线段的垂直平分线相交于点。

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过(1)中轨迹上的点作两条直线分别与轨迹相交于，两点。试探究：当直线的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。

Answer

(1)；(2) 直线的斜率为定值.

【解析】

试题分析：(1)由得点的轨迹符合抛物线的定义，可求出点的轨迹方程；

(2) 在抛物线上,则作差得，直线方程为，与抛物线方程联立得，所以有，即，同理得，代入计算即可.

试题解析： （1）依题意，,故动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，∴动点的轨迹为

(2)∵在抛物线上，∴

由①-②可得，，

故直线的斜率为 ……③

设直线方程为，由得

由，于是，同理可得

∴ ∴直线的斜率为定值。

考点：1.抛物线的定义与标准方程；2.直线与抛物线的位置关系.

【名师点睛】本题抛物线的定义与标准方程、直线与抛物线的位置关系，本题属于中偏难问题；利用定义求抛物线方程，可简化运算，直线与圆锥曲线的位置关系一直是高考的重点内容，求定值、定点问题一般是假设存在，再通过正确运算进行求解.