Question

已知曲线 y = x³ + x－2 在点 P₀处的切线 平行直线4x－y－1=0，且

点 P₀ 在第三象限．

（1）求P₀的坐标；

（2）若直线 , 且 l 也过切点P₀ ,求直线l的方程.

Answer

(1)；(2)．

【解析】

试题分析：(1)根据曲线方程求出导函数，因为已知横线的斜率为，根据切线与已知直线平行得到斜率都为，所以令导函数等于得到关于的方程，求出方程的接，即为切点的横坐标，代入曲线方程即可求解切点的纵坐标，又因为切点在第三象限，进而写出满足条件的切点坐标；(2)由直线的斜率为，根据两直线垂直时斜率乘积为，得出直线的斜率为，又根据（1）中求得切点坐标，写出直线的方程即可．

试题解析：⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，

由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.

又∵点P0在第三象限,

∴切点P0的坐标为 (－1,－4).

⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为,

∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4)

∴直线l的方程为即.

考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程．