Question

设函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）过坐标原点作曲线的切线，证明：切点的横坐标为1.

Answer

（1）的递减区间为，递减区间为；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）利用导数求得函数的单调区间即可；（2）利用导数的几何意义，求得曲线的切线斜率，写出切线方程，即可证明.

试题解析：（1）当时，

由；；

所以的递减区间为，递减区间为；

（2）设切点为，则由切线过原点有切线斜率为

又由切线斜率为，所以

即

所以是方程的根

再证唯一性：设，，

在上单调递增，且，所以方程有唯一解

综上，切点的横坐标为1.

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求解曲线在某点处的切线方程.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中涉及到函数的极值与最值，本题的解答中切点为，求得斜率为得到即是解答的关键，着重考查了分类讨论思想、转化与化归思想的应用，属于难题.