Question

已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y=x上，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．

（1）求圆C的方程；

（2）若，求实数k的值；

（3）过点（0，4）作动直线m交圆C于E，F两点．试问：在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）设圆心，半径为，，由此列方程组能求出圆的方程；（2）由，得，圆心到直线的距离，由此能求出.（3）当直线的斜率不存在时，圆也是满足题意的圆，当直线的斜率存在时，设直线，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出在以为直径的所有圆中，存在圆或，使得圆经过点.

试题解析：（1）设圆心C（a，a），半径为r．

因为圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），

所以|AC|=|BC|=r，

即，

解得a=0，r=2，

所以圆C的方程是x2+y2=4．

（2）因为

且与的夹角为∠POQ，

所以cos∠POQ=﹣，∠POQ=120°，

所以圆心C到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，

又d=，所以k=0．

（3）（ⅰ）当直线m的斜率不存在时，

直线m经过圆C的圆心C，

此时直线m与圆C的交点为E（0，2），F（0，﹣2），

EF即为圆C的直径，而点M（2，0）在圆C上，

即圆C也是满足题意的圆．

（ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，

由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，

由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．

设E（x1，y1），F（x2，y2），

则有①

由①得，②

，③

若存在以EF为直径的圆P经过点M（2，0），则ME⊥MF，

所以，

因此（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，

即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，

则，

所以16k+32=0，k=﹣2，满足题意．

此时以EF为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，

即，

亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0

综上，在以EF为直径的所有圆中，

存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）．

考点：1、待定系数法求圆的方程；2、韦达定理及存在性问题.

【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求圆的方程、韦达定理及存在性问题，属于难题.存在性问题的常见思路是，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在：①当条件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径.