Question

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AD//BC，且，BC⊥DC，∠BAD=60°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，△PAD为等边三角形，M是棱PC上的一点，设（M与C不重合）．

（1）求证：CD⊥DP；

（2）若PA∥平面BME，求k的值；

（3）若二面角M﹣BE﹣A的平面角为150°，求k的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）先证从而平面，进而再由得到，可证；（2）连接交于，连接可得，从而，进而求出的值；（3）连接，做交于，做于，连，则为二面角的平面角，进而可求出的值.

试题解析：证明：（1）因为△PAD为等边三角形，E为AD的中点，所以PE⊥AD．

因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PE平面PAD，

所以PE⊥平面ABCD．

又CD平面ABCD，所以PE⊥CD．

由已知得CD⊥DA，PE∩AD=E，所以CD⊥平面PAD．

双DP平面PAD，所以CD⊥DP．

【解析】
（2）连接AC交BE于N，连接MN．

因为PA∥平面BME，PA平面PAC，

平面PAC∩平面BME=MN，所以PA∥MN．

因为AD∥BC，BC⊥DC，所以∠CBN=∠AEN=90°．

又CB=AE，∠CNB=∠ANE，所以△CNB≌△ANE．

所以CN=NA，则M为PC的中点，k=1．

（3）依题意，若二面角M﹣BE﹣A的大小为150°，则二面角M﹣BE﹣C的大小为30°．

连接CE，过点M作MF∥PE交CE于F，过A（0，1，0）作FG⊥BE于G，连接MG．

因为PE⊥平面ABCD，所以MF⊥平面ABCD．

又BE平面ABCD，所以MF⊥BE．

又MF∩FG=F，MF平面MFG，FG平面MFG，

所以BE⊥平面MFG，从而BE⊥MG．

则∠MGF为二面角M﹣BE﹣C的平面角，即∠MGF=30°．

在等边△PAD中，．由于，所以．

又，所以．

在△MFG中，

解得k=3．

考点：1、线面垂直的性质与判定定理；2、线面平行的性质及二面角的求法.

【方法点晴】本题主要考查的是直线与平面垂直的性质与判定定理、直线与平面平行的性质及二面角的求法，属于难题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明直线与平面垂直的关键是证明直线与直线垂直，证明两直线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．