Question

已知以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆过原点O．

（1）设直线3x+y﹣4=0与圆C交于点M、N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；

（2）在（1）的条件下，设B（0，2），且P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PQ|﹣|PB|的最大值及此时点P的坐标．

Answer

（1）；（2），

【解析】

试题分析：（1）由可得，得，进而求得的值，求得圆心坐标及半径即可的圆的方程；（2）根据三角形两边之和大于第三边可得，又知共线时最大为，再求出直线与的坐标即可.

试题解析：（1）∵OM=ON，所以，则原点O在MN的中垂线上．

设MN的中点为H，则CH⊥MN，

∴C、H、O三点共线，

∵直线MN的方程是3x+y﹣4=0，∴直线OC的斜率==，解得t=3或t=﹣3，

∴圆心为C（3，1）或C（﹣3，﹣1）

∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10或（x+3）2+（y+1）2=10

由于当圆方程为（x+3）2+（y+1）2=10时，圆心到直线3x+y﹣4=0的距离d＞r，

此时不满足直线与圆相交，故舍去，

∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10

（2）在三角形PBQ中，两边之差小于第三边，故|PQ|﹣|PB|≤|BQ|

又B，C，Q三点共线时|BQ|最大

所以，|PQ|﹣|PB|的最大值为，

∵B（0，2），C（3，1），∴直线BC的方程为，

∴直线BC与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（﹣6，4）

考点：1、圆的几何性质及直线垂直的性质；2、几何意义求最值.