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若函数,. (Ⅰ)求的单调区间和极值; (Ⅱ)证明:若存在零点,则在区间上仅有一...

若函数.

(Ⅰ)求的单调区间和极值;

(Ⅱ)证明:若存在零点,则在区间上仅有一个零点.

 

(Ⅰ)的单调递减区间是,单调递增区间是;在处取得极小值;(Ⅱ)证明见解析. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)求单调区间和极值,先求定义域,再求导数,在上,的解为,探讨在和上的正负,确定的单调性,极值;(Ⅱ)首先由零点存在,知最小值,从而,因此在是单调递减,且,因此结论易证. 试题解析:(Ⅰ)由,得 . 由解得.与在区间上的情况如下:   所以,的单调递减区间是,单调递增区间是; 在处取得极小值. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,在区间上的最小值为. 因为存在零点,所以,从而. 当时,在区间上单调递减,且, 所以是在区间上的唯一零点. 当时,在区间上单调递减,且,, 所以在区间上仅有一个零点. 综上可知,若存在零点,则在区间上仅有一个零点. 考点:用导数研究函数的单调性与极值,函数的零点. 【名师点睛】1.导数法求函数单调区间的一般流程: 求定义域→求导数f'(x)→求f'(x)=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'(x)在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性 当f(x)不含参数时,也可通过解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间. 2.零点存在定理:函数在上有定义,若,则在上至少有一个零点.如果函数在还是单调的,则零点是唯一的.  
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考点分析:
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