Question

已知椭圆的离心率，点在椭圆上，、分别为椭圆的左右顶点，过点作轴交的延长线于点，为椭圆的右焦点.

（Ⅰ）求椭圆的方程及直线被椭圆截得的弦长；

（Ⅱ）求证：以为直径的圆与直线相切.

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要求椭圆标准方程，要有两个独立的条件，本题中离心率是一个，又一个顶点说明，这样易求得，得椭圆方程，而求椭圆中的弦长，首先写出直线方程，代入椭圆方程得的一元二次方程，可解得，由弦长公式可得弦长；（Ⅱ）要证此结论，只要证的中点到直线的距离等线段长的一半即可，为此求出方程，求得点坐标，得中点坐标，及圆半径，求圆心到直线的距离．

试题解析：（Ⅰ）∵椭圆过点，

∴，又，即，.

故，

∴椭圆方程为.

则，，直线的方程为，

与椭圆方程联立有.

消去得到，解得.

由弦长公式得；

（Ⅱ）证明：过，的直线的直线方程为：

与的直线方程联立有，

所以以为直径的圆的圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

所以以为直径的圆与直线相切.

考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交弦长，直线与圆的位置关系．