Question

设函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求的零点个数；

（Ⅲ）证明：曲线没有经过原点的切线.

Answer

（Ⅰ）时，在内单调递增；时，，，在区间及内单调递增，在内单调递减；（Ⅱ）有且仅有一个零点；（Ⅲ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）本小题要求单调区间，可先求定义域为，再求出导数，研究的根的情况，从而得出的解集，得单调区间；（Ⅱ）函数的零点个数，可利用（Ⅰ）的单调性证明，如当时，在内单调递增，最多只有1个零点，如能说明函数有正有负，则一定有一个零点；当时，在及内单调递增，在内单调递减，是的根，要讨论的正负，从而确定零点个数；（Ⅲ）用反证，假设曲线在点处的切线经过原点，则有，化简得.下面只要证明此方程无解即可，可求函数的最小值，证得结论．

试题解析：（Ⅰ）的定义域为，.

令，得.

当，即时，，

∴在内单调递增.

当，即时，由解得，

，，且，

在区间及内，，在内，，

∴在区间及内单调递增，在内单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，在内单调递增，

∴最多只有一个零点.

又∵，∴当且时，；

当且时，，故有且仅有一个零点.

当时，∵在及内单调递增，在内单调递减，

且，

，

而，

（∵），

∴，由此知，

又∵当且时，，故在内有且仅有一个零点.

综上所述，当时，有且仅有一个零点.

（Ⅲ）假设曲线在点处的切线经过原点，

则有，即，

化简得：.（*）

记，则，

令，解得.

当时，，当时，，

∴是的最小值，即当时，.

由此说明方程（*）无解，∴曲线没有经过原点的切线.

考点：导数与单调性，函数的零点，导数的几何意义．

【名师点睛】1.导数法求函数单调区间的一般流程:

求定义域→求导数f'（x）→求f'（x）=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'（x）在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性

当f（x）不含参数时,也可通过解不等式f'（x）>0（或f'（x）<0）直接得到单调递增（或递减）区间.

2．导数的几何意义

函数y=f（x）在x=x0处的导数f'（x0）的几何意义是曲线y=f（x）在x=x0处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）.

3．零点存在定理：函数在上有定义，若，则在上至少有一个零点．