Question

已知函数（）．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）求在区间上的最小值．

Answer

（1）的增区间为，，减区间为；（2）当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为．

【解析】

试题分析：（1）研究单调性，可求出导函数，然后解不等式得单调增区间，解不等式得减区间，注意绝对值，要分类求解；（2）由于，因此先分类，，，前两种情形，绝对值符号直接去掉，因此只要用导数研究单调性可得最值，第三种情形同样要去绝对值符号，只是此时是分段函数，，，可以看出这时又要分类：，，得单调性再得最小值．

试题解析：（1）当时，．

①当时，，，

∴在单调递增；

②当时，，．

时，，∴在单调递减；

时，，∴在单调递增．

综上，的增区间为，，减区间为．

（2）①时，，，

，．

②时，，，

，在单调递增，

∴．

③时，而，

∴

（i）时，在上单增，为最小值．

在上恒成立，

∴在上单调递减，

∴．

（ii）时，在上单调递增，．

在时，，

∴．

综上可知，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为．

考点：分段函数，用导数研究函数的单调性、最值．