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已知函数(为自然对数的底数). (1)求函数的单调区间; (2)设函数,存在,,...

已知函数为自然对数的底数).

(1)求函数的单调区间

(2)设函数存在使得成立成立求实数的取值范围

 

(1)在上单调递增,在上单调递减;(2) 【解析】 试题分析:(1)要求单调区间,先求出导函数,然后解不等式得增区间,解不等式得减区间;(2)要解决本小题的问题,首先进行问题的理解与转化:“存在,,使得成立成立”,等价于“时,”,这样下面主要问题是求的最大值与最小值.求出函数式,再求出导数,,由此分类,分三类:,,,分别求得的最大值和最小值,然后解不等式可得的范围. 试题解析:(1)∵函数的定义域为,, ∴当时,;当时,, ∴在上单调递增,在上单调递减. (2)假设存在,,使得成立,则. ∵, ∴. ①当时,,在上单调递减, 所以,就; ②时,,在上单调递增, 所以,即; ③时,在,,在上单调递减,在,,在上单调递增. 所以,即 (*) 由(1)知,在上单调递减,故, 而,所以不等式(*)无解. 综上所述,存在,使得命题成立. 考点:用导数求单调区间,用导数研究函数的最值.含存在题词的命题的转化. 【名师点睛】1.求函数的单调区间的“两个”方法 (1)方法一:①确定函数y=f(x)的定义域; ②求导数y′=f′(x); ③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; ④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. (2)方法二:①确定函数y=f(x)的定义域; ②求导数y′=f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; ③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间; ④确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. 2.含有题词“任意”、“存在”的命题的恒成立问题的转化. 函数在定义区间上有意义, (1)恒成立; (2)成立; (3),成立; (4)成立;  
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