Question

设函数.

（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；

（2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；

②证明：不等式

Answer

（1）最大值为；（2）①的取值范围是；②证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由在处有极值得，从而求得，然后由正负，研究的单调性，得极值，最值；（2）①这类问题，可假设存在，不等式在上恒成立，考虑到，因此最好有时，，则恒成立结论为真，由此研究单调性，求导，注意到，因此分类， ，分别研究的正负，得的单调性，可得结论；②要证明此不等式，可能需要用到上面函数的结论，由上面的推理，取得不等式：，令，则，因此只要证得是递减数列，不等式的右边就证得，为此作差，

不等式的左边，由，则有．这里用到了不等式的放缩法．

试题解析：（1）由已知得：，且函数在处有极值

，当时，单调递增

当时，单调递减

所以函数的最大值为

（2）①由已知得：

（）若，则时，

所以在上为减函数

在上恒成立；

（）若，则时，

所以在上为增函数

，不能使在上恒成立；

（）若，则时，

当时，

所以在上为增函数，

此时

所以不能使在上恒成立

综上所述，的取值范围是

②由以上得：

取得：，令

则

因此

又

故

.

考点：用导数研究函数的极值、单调性、最值，不等式恒成立问题，用函数证明不等式．