Question

已知等差数列的前项和为，并且，数列满足：，记数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式及前项和为；

（2）求数列的通项公式及前项和为；

（3）记集合，若的子集个数为16，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2），；（3）

【解析】

试题分析：（1）数列是等差数列，可把已知用表示出来，列出方程组，解出，从而得到通项公式和胶项和；（2）由已知得，这是数列前后项的比值，因此可用连乘法求得通项，即，从而有，它可看作是一个等差数列和一个等比数列的乘积，因此其前项和用乘公比错位相减法求得；（3）由（1）（2）求得，不等式恒成立，即恒成立，只要求得的最小值即可，先求出前面几项，观察归纳猜想出单调性并给出证明（可用证明数列的单调性），从而可求得最小值，得范围．

试题解析：（1）设数列的公差为，由题意得

（2）由题意得

叠乘得

由题意得①

②

②-①得：

（3）由上面可得令

则

下面研究数列的单调性，

时，即单调递减.

所以不等式解的个数为4，.

考点：等差数列的通项公式与前项和公式，数列递推公式求通项公式，错位相减法求数列的和，数列的单调性．