Question

在单位正方体中，是的中点，如图建立空间直角坐标系.

（1）求证∥平面.

（2）求异面直线与夹角的余弦值.

（3）求直线到平面的距离.

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）要证明线面平行，即先证明线线平行，连接,根据四边形是平行四边形，可证明,即平面外的线平行与平面内的线，则线面平行；（2）因为，所以可将异面直线与夹角转化为与的夹角，即,在等边三角形中，易求的余弦值；（3）求线与面的距离，可转化为空间向量的坐标法求解，包括前两问，都可用，比如先求平面的法向量，若与平面的法向量垂直，则与平面平行，求异面直线的夹角，即求,求线与面的距离，可转化为求点与面的距离，代入点到面的向量公式.

试题解析：（1）法一：连接A1D则∥A1D.

而A1D平面，平面

所以∥平面.

法二：设平面的一个法向量为，

由 得，令，则

所以.又.从而

所以∥平面.

【解析】
（2）法一：由（1）知异面直线与的夹角为或其补角.

而且O为中点，故，

所以两异面直线与的夹角的余弦值为.

法二：设、分别为直线与的方向向量，

则由，得cos<,>=.

所以两异面直线与的夹角的余弦值为.

【解析】
（3）由（1）知平面的一个法向量为，又

所以到平面的距离

考点：1.线线，线面位置关系；2.坐标法求解.