在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数）．以原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线
的极坐标方程；
（2）若直线
的极坐标方程为
，求直线
被曲线
所截得的线段长．
如图，在
的内接四边形
中，
，过点
作
的切线，交
的延长线于点
．
（1）证明：
；
（2）若
，
，
，求
的长．
已知函数
，其中
为常数且
．
（1）若曲线
与直线
相切，求
的值；
（2）设
，
为两个不相等的正数，若
，证明：
．
如图
，已知抛物线
的顶点
在坐标原点，焦点在
轴正半轴上，准线与
轴的交点为
．过点
作圆
的两条切线，两切点分别为
，
，且
．
（1）求抛物线
的标准方程；
（2）如图
，过抛物线
的焦点
任作两条互相垂直的直线
，
，分别交抛物线
于
，
两点和
，
两点，
，
分别为线段
和
的中点，求
面积的最小值．
如图，在四棱柱
中，
底面
，各侧棱长和底边长都为
，
，
为侧棱
的延长线上一点，且
．
（1）求二面角
的大小；
（2）设点
在线段
上，若
面
，求
的值．
某工厂有
名工人，其年龄都在
岁之间，各年龄段人数按
，
，
，
分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加
、
两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．
（1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为
的样本，求四个年龄段应分别抽取的人数；
（2）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；
（3）随机从年龄段
和
中各抽取
人，设这两人中
、
两项培训结业考试成绩都优秀的人数为
，求
的分布列和数学期望．
