Question

如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，准线与轴的交点为．过点作圆的两条切线，两切点分别为，，且．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）如图，过抛物线的焦点任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线于，两点和，两点，，分别为线段和的中点，求面积的最小值．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由对称性知，轴，设与轴的交点为，则．在中，；（2）设直线的斜率为，由过：．代入点，同理可得点：过定点的面积：（当且仅当时取等号）的面积的最小值为．

试题解析：（1）由对称性知，轴，设与轴的交点为，则．

连，则中，，则

因为为圆的切线，则．由射影定理，得，则

因为圆心的坐标为，则，所以，即，得．

所以抛物线的标准方程为

（2）设直线的斜率为，因为过焦点，则直线的方程为．代入，得

．设点，，则．因为为线段的中点，则点

因为，则直线的方程为．同理可得点

直线的方程为，即，显然过定点

设的面积为，与轴的交点为，则

，当且仅当时取等号．所以的面积的最小值为

考点：1、抛物线的标准方程；2、直线与圆；3、射影定理；4、直线与抛物线；5、三角形的面积；6、重要不等式.

【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程；、直线与圆、射影定理、直线与抛物线、三角形的面积与重要不等式，综合程度高，属于难题.本题最难点是利用重要不等式求最小值，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，才能灵活应对这类题型.