Question

某工厂有名工人，其年龄都在岁之间，各年龄段人数按，，，分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加、两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．

（1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为的样本，求四个年龄段应分别抽取的人数；

（2）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；

（3）随机从年龄段和中各抽取人，设这两人中、两项培训结业考试成绩都优秀的人数为，求的分布列和数学期望．

Answer

（1）应抽取的人数分别为，，，；（2）均年龄约为岁；（3）分布列见解析，期望

【解析】

试题分析：（1）先求出各组的频率分别为，，，，再求出各组应抽取的人数分别为，，，；（2）根据平均数的估值公式可得；（3）先计算从这两组中各抽取一人、两项培训结业考试成绩都优秀的概率分别和，又随机变量的可能取值为，，，再求出相应概率，就可以求出分布列和数学期望.

试题解析：（1）由频率分布直方图可知，年龄段，，，的人数的频率分别为，，，

因为，，，，所以年龄段，，，应抽取的人数分别为，，，

（2）因为各年龄组的中点值分别为，，，，对应的频率分别为，，，，

则．由此估计全厂工人的平均年龄约为岁

（3）因为年龄段的工人数为，从该年龄段任取人，由表知，此人项培训结业考试成绩优秀的概率为，项培训结业考试成绩优秀的概率为，所以、两项培训结业考试成绩都优秀的概率为

因为年龄段的工人数为，从该年龄段任取人，由表知，此人项培训结业考试成绩优秀的概率为，项培训结业考试成绩优秀的概率为，所以、两项培训结业考试成绩都优秀的概率为

由题设，的可能取值为，，．其中，

，

所以的分布列是

期望

考点：1、频率分布直方图；2、分布列；3、数学期望.