Question

如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．

（1）求大学与站的距离；

（2）求铁路段的长．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）在中，，且，，直接由余弦定理可得结果；（2）先由由正弦定理得，，再次根据正弦定理可求得铁路段的长.

试题解析：（1）在中，，且，，

由余弦定理得，

，即大学与站的距离为.

（2），且为锐角，，

在中，由正弦定理得，,

即，，，

， ，，，

，又， ，

在中，， 由正弦定理得，，

即，，即铁路段的长为．

考点：1、两角差的正弦公式；2、正弦定理及余弦定理的应用；3、阅读能力、数学建模能力和化归思想.

【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及两角差的正弦公式、正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是将“大学与站的距离及铁路段的长”转化为余弦定理和正弦定理的应用.