Question

已知曲线C：直线l： （t为参数）．

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与直线l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

Answer

（1），2x＋y－6＝0；（2）最大值为 最小值为

【解析】

试题分析：（1）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（2）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值

试题解析：（1）曲线C的参数方程为 （θ为参数）．

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0．

（2）曲线C上任意一点P（2cos θ，3sin θ）到l的距离为

d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.

则|PA|＝＝|5sin（θ＋α）－6|，其中α为锐角，且tan α＝.

当sin（θ＋α）＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为 .

当sin（θ＋α）＝1时，|PA|取得最小值，最小值为．

考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系