Question

已知圆：，直线.

（1）求证：对，直线与圆总有两个不同交点；

（2）设直线与圆交于不同两点，求弦的中点的轨迹方程；

（3）若定点分弦所得向量满足，求此时直线的方程.

Answer

（1）见解析；（2）（3）或

【解析】

试题分析：（1）直线恒过定点，且这个点在圆内，故直线与圆总有两个不同的交点.

（2）当不与重合时，连接、，则，设，则

，化简得：，

当与重合时，满足上式.

（3）设，，由得，将直线与圆的方程联立得

（*）

∴，可得，代入（*）得，直线方程为或.

考点：直线与圆的位置关系，求轨迹方程

【方法点睛】判断直线与圆的位置关系有两种方法，其一，联立方程组，利用判别式（代数法），其二，利用圆心到直线的距离与圆的半径相比较（几何法）；关于弦中点的轨迹问题，常用方法是带点相减，由于本题是圆的问题，所以只需借助垂径定理便可以，既可以利用勾股定理很基础的方法去解决，也可以注意到直线过定点（1，1），借助垂直，利用斜率之积为去解决，但要注意解题时对与是否重合加以说明，使轨迹具备完备性.