Question

已知各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意，有，函数，数列的首项，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求证：是等比数列并通项公式.

（3）令，，求数列的前项和.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件中的递推关系建立方程求解；（2）借助题设条件和等比数列的定义求解；（3）依据题设条件运用错位相减法求解.

试题解析:

（1）由①

得：②

由②-①得：

即：

∴

由于数列各项均为正数，∴，即，

∴数列是首项为1，公差为的等差数列，

∴数列的通项公式是

（2）由，知，所以，

有，

即，而，故是以为首项，公比为2的等比数列.

所以.

（3），

所以数列的前项和（1）

（2）

（1）-（2）式错位相减可得：.

考点：等比数列及数列的求和方法等有关知识的综合运用．