Question

若关于的实系数方程有两个根，一个根在区间内，另一根在区间内，记点对应的区域为.

（1）设，求的取值范围；

（2）过点的一束光线，射到轴被反射后经过区域，求反射光线所在直线经过区域内的整点

（即横纵坐标为整数的点）时直线的方程.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设建立不等式组运用线性规划的知识求解；（2）借助题设条件运用直线的点斜式方程求解.

试题解析:

方程的两根在区间和上的几何意义是：函数与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内，由此可得不等式组，即，则在坐标平面内，点对应的区域如图阴影部分所示，

易得图中三点的坐标分别为，

（1） 令，则直线经过点时，取得最小值，经过点时取得最大值，

即，，

又三点的值没有取到，所以；

（2）过点的光线经轴反射后的光线必过点，由图可知，可能满足条件的整点为，再结合不等式知点符合条件，

所以此时直线方程为：，即.

考点：线性规划的知识及直线的方程等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题以方程的根的分布为背景,考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的综合运用问题.解答时先依据题设条件建立不等式组,然后再构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件的不等式组所表示的平面区域,然后借助该平面区域所表示的图形,数形结合求出中参数的取值范围和满足题设条件的反射光线所在直线的方程.