Question

已知数列的前项和为，若，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为.

①求；

②对于任意的及，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1） ；（2）①；②.

【解析】

试题分析：（1）借助题设中递推关系求解；（2）借助题设条件和不等式恒成立的关系求解.

试题解析:

（1）在中，令，得，

∵，∴当时，，

两式相减，得：，

∴，即.

∴，

故.

（2）①，

所以.

②∵，单调递增，故，

∵，∴对于任意的恒成立，

∴对于任意的恒成立，

∴，又也成立，∴实数的取值范围是.

考点：数列的求和与不等式恒成立的等有关知识及综合运用．

【易错点晴】数列是高中数学中重要的知识点,也是高考常考的考点之一.解答数列问题时,除了要扎实扎实掌握有关的数列的基础知识和基本方法之外,还要掌握一些解决数列问题的常用的技巧、数学思想和方法.如第一问中求数列的通项所采用的叠乘相消的整体思维方法;还有第二问中的数列求和的裂项相消法,都是数列问题中最为常用的方法和技巧,务必在解答数列问题的过程中加以理解和掌握.