Question

已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）若对于任意的，若函数在区间上有最值，求实数的取值范围.

Answer

（1）当时，无极值，当时，有极大值，无极小值；（2）.

【解析】

试题分析：（1）对求导，，分，两种情况写出函数的单调区间；（2）对函数求导得，根据在区间上有最值，得到在区间上总不是单调函数，从而得到，∴，另由对任意，恒成立，分离参数即可求得实数的取值范围．

试题解析：（1）由已知得的定义域为，且，

当时，，

∴在单调增，无极值；

当时，

由得：，则得：，

∴在上单调递增，在上单调递减.

∴的极大值，无极小值.

综上：当时，无极值；

当时，有极大值，无极小值.

（2），

∴，

∵在区间上有最值，

∴在区间上有极值，即方程在上有一个或两个不等实根，

又，∴

则题意知：对任意，恒成立，

∴，因为，∴，

对任意，恒成立

∴，∵，∴

∴.

考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）导数在最大值、最小值问题中的应用.

【方法点晴】此题是个中档题．考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，体现了对分类讨论和化归转化数学思想的考查，特别是问题（2）的设置很好的考查学生对题意的理解与转化，创造性的分析问题、解决问题的能力和计算能力．函数在开区间内有最值等价于函数在该区间内有极值，故可转化为方程在上有一个或两个不等实根，通过数形结合，转化为恒成立，利用分离参数得解.