Question

如图，四棱锥中，平面，，为线段上一点，为的中点．

（1）证明平面；

（2）求四面体的体积．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）取中点，连结，得是的中位线，推导出四边形是平行四边形，由此能证明平面；（2）取中点，连结，是的中位线，推导出面，延长至，使得，连结，则四边形是平行四边形，由此能求出四面体的体积．

试题解析：：（1）取中点，连结，∵为的中点，∴是的中位线，∴，又∵，∴，∵，，为线段上一点，，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴平面平面，∵平面，∴平面．（2）取中点，连结，∵是的中位线，∴，，又∵面，∴面，如图，延长至，使得，连结，∵，∴四边形是平行四边形，∴，又∵，，∴的高，∴，∴四面体的体积.

考点：（1）棱柱、棱锥、棱台的体积；（2）直线与平面平行的判定.

【一题多解】（1）由已知得，取的中点，连接，

由为中点知，

又，故，四边形为平行四边形，于是，

因为平面平面，所以平面

（2）因为平面为的中点，

所以到平面的距离为

取的中点，连结，由得，

由得到的距离为，故，

所以四面体的体积.