Question

设函数x∈R，其中a,b∈R.

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若f（x）存在极值点x₀，且f（x₁）= f（x₀），其中x₁≠x₀，求证：x₁+2x₀=3；

（Ⅲ）设a＞0,函数g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不小于.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（Ⅱ）由题意得，计算可得.再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，可分三种情况研究：①；②；③.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
由，可得.

下面分两种情况讨论：

（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.

（2）当时，令，解得，或.

当变化时，，的变化情况如下表：

＋

0

－

0

＋

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.

（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，

由题意，得，即，

进而.

又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 ，且，因此，所以.

（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论：

（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此

，

所以.

（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，

所以在区间上的取值范围为，因此

.

（3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，

，，

所以在区间上的取值范围为，因此

.

综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.

【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式

【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤：

（1）确定函数f（x）的定义域（定义域优先）；

（2）求导函数f ′（x）；

（3）在函数f（x）的定义域内求不等式f ′（x）＞0或f ′（x）＜0的解集；

（4）由f ′（x）＞0（f ′（x）＜0）的解集确定函数f（x）的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．

2．由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．