Question

设函数

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；

（Ⅲ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求函数f（x）的导数，根据，求切线方程；

（Ⅱ）根据导函数判断函数f（x）的单调性，由函数有三个不同零点，求c的取值范围；

（Ⅲ）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.

试题解析：（Ⅰ）由，得．

因为，，

所以曲线在点处的切线方程为．

（Ⅱ）当时，，

所以．

令，得，解得或．

与在区间上的情况如下：

所以，当且时，存在，，

，使得．

由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．

（Ⅲ）当时，，，

此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．

当时，只有一个零点，记作．

当时，，在区间上单调递增；

当时，，在区间上单调递增．

所以不可能有三个不同零点．

综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．

故是有三个不同零点的必要条件．

当，时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件．

因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．

【考点】利用导数研究曲线的切线；函数的零点

【名师点睛】

1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明．

2.求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值．

3.方程根的问题可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．

4.高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．