Question

设函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）证明当时，；

（Ⅲ）设，证明当时，.

Answer

（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理．

试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为.

所以当时，.

故当时，，，即.

（Ⅲ）由题设，设，则，令，

解得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，.

所以当时，.

【考点】利用导数研究函数的单调性、不等式的证明与解法

【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．